線形性はベクトル空間の骨格構造です。 線形変換 これは単なる関数ではなく、ベクトル加算とスカラー乗法という基本的な操作を尊重するベクトル空間間の写像 $T$ です。まるで「構造設計図」として捉えてください。ある基本的なベクトル集合に対する変換の様子がわかれば、そのすべてのベクトルに対する変換の様子もすべて把握できます。
線形性の二大支柱
変換 $T$ が線形であるためには、すべてのベクトル $v, w$ およびすべてのスカラー $c$ に対して、次の2つの厳密な代数的条件を満たす必要があります：
- 加法性： $T(v + w) = T(v) + T(w)$。和の変換は、それぞれの変換の和に等しい。
- 斉次性： $T(cv) = cT(v)$。入力をスケーリングすると、出力も同じ倍率でスケーリングされる。
重ね合わせの原理
これらの規則を組み合わせることで、線形代数における最も強力な恒等式が得られます：
$$T(c_1v_1 + \dots + c_nv_n) = c_1T(v_1) + \dots + c_nT(v_n)$$
つまり、線形変換 $T$ はベクトルの線形結合に対して、和に分配し、スカラーを括り出すように作用することを意味します。
ゼロベクトルの制約
線形性の重要な「試金石」は 原点テストです。線形変換の場合、ゼロベクトルはゼロベクトルにマッピングされなければなりません：
$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
もし写像が原点をずらす（例：$T(v) = v + b$）場合、それは アフィン 変換であり、線形変換ではありません。平面幾何学では、線形変換は中心を固定したままにしており、空間を「スライド」することはありません。
非線形性の認識
線形性は非常に壊れやすいものです。変換 $T$ の規則に以下のいずれかが含まれる場合、それは 非線形 です：
- 平方または高次のべき乗（例：$v_1^2$）
- 成分の積（例：$v_1 v_2$）
- 絶対値やノルム（例：$||v||$）
- 定数オフセット（例：$v_1 + 1$）
🎯 核心原則：例による対比
固定されたベクトル $a = (1, 3, 4)$ を考えましょう。 内積 $T(v) = a \cdot v$ は加算に対して分配的に働くため線形です。しかし、 ノルム $T(v) = ||v||$ は線形ではありません。三角不等式（$||v+w|| \leq ||v||+||w||$ が等しくならないこと）に反し、負のスカラーに対しても成り立たない（$||-v|| = ||v|| \neq -||v||$）。